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牛吃草問題的巧解方法(含例題解析)

發布者:益學教育 時間:2018-07-03

  有這樣的問題.如:牧場上有一片勻速生長的草地,可供27頭牛吃6周,或供23頭牛吃9周.那么它可供21頭牛吃幾周?這類問題稱為“牛吃草”問題。

  還有比如地球能供多少人生存問題等等。

  解答這類問題,困難在于草的總量在變,它每天,每周都在均勻地生長,時間愈長,草的總量越多.草的總量是由兩部分組成的:(1)某個時間期限前草場上原有的草量;(2)這個時間期限后草場每天(周)生長而新增的草量.因此,必須設法找出這兩個量來。

  下面就用開頭的題目為例進行分析.(見下圖)

  

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  從上面的線段圖可以看出23頭牛9周的總草量比27頭牛6周的總草量多,多出部分相當于3周新生長的草量.為了求出一周新生長的草量,就要進行轉化.27頭牛6周吃草量相當于27×6=162頭牛一周吃草量(或一頭牛吃162周).23頭牛9周吃草量相當于23×9=207頭牛一周吃草量(或一頭牛吃207周).這樣一來可以認為每周新生長的草量相當于(207-162)÷(9-6)=15頭牛一周的吃草量。

  需要解決的第二個問題是牧場上原有草量是多少?用27頭牛6周的總吃草量減去6周新生長的草量(即15×6=90頭牛吃一周的草量)即為牧場原有草量。

  所以牧場上原有草量為27×6-15×6=72頭牛一周的吃草量(或者為23×9-15×9=72)。

  牧場上的草21頭牛幾周才能吃完呢?解決這個問題相當于把21頭牛分成兩部分.一部分看成專吃牧場上原有的草.另一部分看成專吃新生長的草.但是新生的草只能維持15頭牛的吃草量,且始終可保持平衡(前面已分析過每周新生的草恰夠15頭牛吃一周).故分出15頭牛吃新生長的草,另一部分21-15=6(頭)牛去吃原有的草.所以牧場上的草夠吃72÷6=12(周),也就是這個牧場上的草夠21頭牛吃12周。

  

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  例2 一只船發現漏水時,已經進了一些水,水勻速進入船內.如果10人淘水,3小時淘完;如5人淘水8小時淘完.如果要求2小時淘完,要安排多少人淘水?

  分析 與解答這類問題,都有它共同的特點,即總水量隨漏水的延長而增加.所以總水量是個變量.而單位時間內漏進船的水的增長量是不變的.船內原有的水量(即發現船漏水時船內已有的水量)也是不變的量.對于這個問題我們換一個角度進行分析。

  如果設每個人每小時的淘水量為“1個單位”.則船內原有水量與3小時內漏水總量之和等于每人每小時淘水量×時間×人數,即1×3×10=30.

  船內原有水量與8小時漏水量之和為1×5×8=40。

  每小時的漏水量等于8小時與3小時總水量之差÷時間差,即(40-30)÷(8-3)=2(即每小時漏進水量為2個單位,相當于每小時2人的淘水量)。

  船內原有的水量等于10人3小時淘出的總水量-3小時漏進水量.3小時漏進水量相當于3×2=6人1小時淘水量.所以船內原有水量為30-(2×3)=24。

  如果這些水(24個單位)要2小時淘完,則需24÷2=12(人),但與此同時,每小時的漏進水量又要安排2人淘出,因此共需12+2=14(人)。

  從以上這兩個例題看出,不管從哪一個角度來分析問題,都必須求出原有的量及單位時間內增加的量,這兩個量是不變的量.有了這兩個量,問題就容易解決了。

  例3 12頭牛28天可以吃完10公畝牧場上全部牧草,21頭牛63天可以吃完30公畝牧場上全部牧草.多少頭牛126天可以吃完72公畝牧場上全部牧草(每公畝牧場上原有草量相等,且每公畝牧場上每天生長草量相等)?

  

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  分析:

  解題的關鍵在于求出一公畝一天新生長的草量可供幾頭牛吃一天,一公畝原有的草量可供幾頭牛吃一天。

  12頭牛28天吃完10公畝牧場上的牧草.相當于一公畝原來的牧草加上28天新生長的草可供33.6頭牛吃一天(12×28÷10=33.6)。

  21頭牛63天吃完30公畝牧場上的牧草,相當于一公畝原有的草加上63天新生長的草可供44.1頭牛吃一天(63×21÷30=44.l)。

  一公畝一天新生長的牧草可供0.3頭牛吃一天,即:

  (44.l-33.6)÷(63-28)=0.3(頭)。

  一公畝原有的牧草可供25.2頭牛吃一天,即:

  33.6-0.3×28=25.2(頭)。

  72公畝原有牧草可供14.4頭牛吃126天,即:

  72×25.2÷126=14.4(頭)。

  72公畝每天新生長的草量可供21.6頭牛吃一天,即:

  72×0.3=21.6(頭)。

  所以72公畝牧場上的牧草共可以供36(=14.4+21.6)頭牛吃126天。

  問題得解。

  解:

  一公畝一天新生長草量可供多少頭牛吃一天?

  (63×21÷30-12×28÷10)÷(63-28)=0.3(頭)。

  一公畝原有牧草可供多少頭牛吃一天?

  12×28÷10-0.3×28=25.2(頭)。

  72公畝的牧草可供多少頭牛吃126天?

  72×25.2÷126+72×0.3=36(頭)。

  答:72公畝的牧草可供36頭牛吃126天。



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